Ma trận trực giao là gì

Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bởi một đổi mới cùng với nhì chỉ số sinh hoạt bên dưới. lấy một ví dụ, a2,1 màn trình diễn thành phần sống hàng thứ nhị cùng cột trước tiên của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

quý khách hàng vẫn xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học tập, ma trận là 1 trong những mảng chữ nhật<1>—những số, ký hiệu, hoặc biểu thức, thu xếp theo sản phẩm cùng cột<2><3>—nhưng mà từng ma trận theo đúng rất nhiều quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được Gọi là những bộ phận hoặc mục. lấy ví dụ một ma trận tất cả 2 sản phẩm cùng 3 cột.

. 1&9&-13\20&5&-6end}.}
*

Khi các ma trận tất cả cùng size (chúng có thuộc số mặt hàng và cùng số cột), thì hoàn toàn có thể thực hiện phxay cùng hoặc trừ nhị ma trận trên các thành phần tương xứng của chúng. Tuy nhưng, quy tắc áp dụng chất nhận được nhân ma trận chỉ hoàn toàn có thể thực hiện được Khi ma trận thứ nhất bao gồm số cột bằng số hàng của ma trận sản phẩm công nghệ nhị. Ứng dụng chính của ma trận chính là phép màn biểu diễn các biến đổi đường tính, Tức là sự tổng thể hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x . lấy một ví dụ, phép xoay các vectơ vào không khí bố chiều là một phép thay đổi đường tính nhưng hoàn toàn có thể biểu diễn bởi một ma trận xoay R: nếu như v là vectơ cột (ma trận chỉ tất cả một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là 1 trong những vec tơ cột biểu đạt địa chỉ của điểm đó sau phxay con quay này. Tích của nhị ma trận biến hóa là 1 trong những ma trận màn biểu diễn hợp của nhị phnghiền biến hóa tuyến đường tính. Một vận dụng khác của ma trận sẽ là tra cứu nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể thu được một số trong những đặc thù của chính nó bằng phương pháp tính định thức của chính nó. ví dụ như, ma trận vuông là ma trận khả nghịch ví như và chỉ nếu định thức của chính nó không giống ko. Quan niệm hình học của một phxay chuyển đổi con đường tính là nhận được (với phần nhiều lên tiếng khác) từ bỏ trị riêng biệt và vec tơ riêng biệt của ma trận.

cũng có thể thấy vận dụng của định hướng ma trận vào hầu như những nghành nghề dịch vụ kỹ thuật. Trong mỗi nhánh của đồ dùng lý học tập, bao gồm cơ học tập cổ điển, quang học, năng lượng điện từ học, cơ học lượng tử, và năng lượng điện rượu cồn lực học tập lượng tử, bọn chúng được thực hiện để nghiên cứu những hiện tượng kỳ lạ vật dụng lý, nlỗi vận động của đồ gia dụng rắn. Trong bối cảnh máy vi tính, ma trận được sử dụng nhằm chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong kim chỉ nan Xác Suất với thống kê, những ma trận thốt nhiên được áp dụng để diễn đạt tập đúng theo các xác suất; ví dụ, chúng dùng vào thuật tân oán PageRank để xếp thứ hạng những trang trong lệnh tìm kiếm của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa những định nghĩa trong giải tích nlỗi đạo hàm với hàm mũ so với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chủ yếu của giải tích số dành riêng nhằm cách tân và phát triển các thuật toán thù hữu ích cho những tính toán thù ma trận, một chủ thể sẽ hàng ngàn năm tuổi và là một nghành nghề nghiên cứu và phân tích rộng ngày nay. Phương pháp knhị triển ma trận làm cho dễ dàng và đơn giản hóa những tính toán bao gồm cả phương diện kim chỉ nan lẫn thực hành thực tế. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của những ma trận đặc trưng, nlỗi ma trận thưa (sparse) với ma trận ngay sát chéo, góp giải quyết hầu như tính toán vào cách thức bộ phận hữu hạn và đầy đủ tính tân oán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện vào cơ học thiên thể và kim chỉ nan ngulặng tử. Một ví dụ dễ dàng và đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận trình diễn những tân oán tử đạo hàm, cơ mà tính năng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

Định nghĩa

Ma trận là một trong mảng chữ nhật chứa các số hoặc phần lớn đối tượng người dùng toán thù học tập không giống, mà lại có thể định nghĩa một trong những phép toán thù nhỏng cùng hoặc nhân trên các ma trận.<5> Hay chạm mặt tuyệt nhất chính là ma trận trên một trường F là một trong mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cùa đến những ma trận thực với phức, Tức là các ma trận cơ mà những bộ phận của nó là số đông số thực hoặc số phức. Những nhiều loại ma trận bao quát hơn được luận bàn làm việc dưới. lấy một ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6\20,4&5,5\9,7&-6,2end}.}
*

Các số, ký hiệu tuyệt biểu thức vào ma trận được call là các phần tử của chính nó. Các mặt đường theo phương ngang hoặc phương thơm dọc chứa các bộ phận trong ma trận được điện thoại tư vấn tương ứng là mặt hàng cùng cột.

Độ phệ

Độ phệ hay cỡ của ma trận được có mang bởi con số hàng cùng cột cơ mà ma trận tất cả. Một ma trận m mặt hàng cùng n cột được điện thoại tư vấn là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m với n được Gọi là chiều của chính nó. ví dụ như, ma trận A ngơi nghỉ trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ tất cả một sản phẩm hotline là vectơ sản phẩm, với phần lớn ma trận chỉ bao gồm một cột Call là vectơ cột. Ma trận gồm cùng số hàng và số cột được call là ma trận vuông. Ma trận gồm vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được hotline là ma trận vô hạn. Trong một số ngôi trường hợp, như công tác đại số máy vi tính, vẫn có ích Lúc xét một ma trận nhưng mà không tồn tại hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên Gọi Độ bự lấy ví dụ Miêu tả Vectơ sản phẩm 1 × n 3&7&2end}}
*

*

Ma trận gồm một cột, đôi lúc được dùng làm màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&5\1&11&7\2&6&3end}}
*

Ma trận có thuộc số hàng và số cột, nó được thực hiện để trình diễn phxay đổi khác tuyến đường tính xuất phát điểm từ 1 không gian vec tơ vào chủ yếu nó, nlỗi phxay sự phản xạ, phép xoay hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận có một lịch sử dân tộc lâu năm về ứng dụng trong giải các phương thơm trình đường tính nhưng mà chúng được nghe biết là các mảng cho tới tận trong những năm 1800. Cuốn nắn sách Cửu cmùi hương tân oán thuật viết vào khoảng năm 152 Tcông nhân giới thiệu phương thơm trận để giải hệ năm pmùi hương trình tuyến tính,<8> bao hàm tư tưởng về định thức. Năm 1545 bên toán học tập bạn Ý Girolamo Cardano reviews phương pháp giải này vào châu Âu khi ông chào làng quyển Ars Magmãng cầu.<9> Nhà toán học tập Japan Seki đã thực hiện cách thức mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683.<10> Nhà toán thù học tập Hà Lan Jan de Witt lần trước tiên biểu diễn các chuyển đổi bên dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).

Xem thêm: Bột Trét Gốc Xi Măng (Ultra Skim Coat Là Gì, Bột Bả Tường Gạch Nhẹ Aac

<11> Giữa các năm 1700 với 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz chào làng phương thức sử dụng các mảng nhằm khắc ghi đọc tin xuất xắc tìm nghiệm với nghiên cứu và phân tích trên 50 loại ma trận khác nhau.<9> Cramer giới thiệu quy tắc của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ trong giờ đồng hồ Anh "matrix" (giờ đồng hồ Latin là "womb", dẫn xuất tự mater—mẹ<12>) vày James Joseph Sylvester nêu ra vào khoảng thời gian 1850,<13> Khi ông nhận thấy rằng ma trận là một trong đối tượng người tiêu dùng có tác dụng xuất hiện thêm một số trong những định thức nhưng ngày này điện thoại tư vấn là phần prúc đại số, tức là định thức của các ma trận nhỏ tuổi rộng chiếm được từ ma trận ban đầu bằng phương pháp xóa đi các mặt hàng với những cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đang tư tưởng trong bài báo trước về "Ma trận" là một trong những mảng chữ nhật đựng những phần tử, nhưng mà phần đa định thức không giống nhau rất có thể chỉ dẫn định thức của ma trận người mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về những phép thay đổi hình học tập thực hiện ma trận ngoài những phép biến hóa tảo đã làm được khảo sát trước kia. Tgiỏi vào kia, ông quan niệm những phép toán nhỏng cùng, trừ, nhân và chia hầu hết ma trận này với chứng tỏ các nguyên tắc phối hợp và phân phối hận vẫn được thỏa mãn nhu cầu. Cayley vẫn nghiên cứu và phân tích cùng minh chứng tính chất không giao hoán thù của phép nhân ma trận tương tự như tính giao hân oán của phép cộng ma trận.<9> Lý ttiết ma trận sơ knhì bị giới hạn nghỉ ngơi phương pháp thực hiện những mảng và tính định thức và những phnghiền toán thù ma trận trừu tượng của Arthur Cayley sẽ tạo ra sự cuộc cách mạng đến định hướng này. Ông vận dụng khái niệm ma trận mang lại hệ phương thơm trình tuyến tính chủ quyền. Năm 1858 Cayley chào làng Hồi ký kết về định hướng ma trận<15><16> trong những số đó ông nêu ra với chứng minh định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà tân oán học người Anh Cullis là tín đồ thứ nhất áp dụng cam kết hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào khoảng thời gian 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu đặc biệt A = nhằm màn trình diễn một ma trận với ai,j là thành phần ở sản phẩm sản phẩm i với cột trang bị j.<9>

Quá trình nghiên cứu và phân tích định thức bắt đầu từ một vài mối cung cấp không giống nhau.<17> Các bài toán số học dẫn Gauss tiếp cận liên hệ các thông số của dạng toàn phương thơm, đông đảo nhiều thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ tuyến tính vào không gian bố chiều với ma trận. Eisenstein đã cải tiến và phát triển xa hơn những khái niệm này, với nhấn xét theo cách phân phát biểu lộ đại rằng tích ma trận là không giao hân oán. Cauchy là người trước tiên chứng tỏ hầu hết mệnh đề tổng quát về định thức, Khi ông áp dụng tư tưởng nlỗi sau về định thức của ma trận A = : sửa chữa thay thế lũy quá ajk bằng ajk trong nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

Ma trận hay được viết vào vệt ngoặc vuông:

A = . =a_&a_&cdots &a_\a_&a_&cdots &a_\vdots &vdots &ddots &vdots \a_&a_&cdots &a_end}.}
*